LOJ573 「LibreOJ NOI Round#2」单枪匹马

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矩阵加速函数计算

题意

给定序列 aa ，维护两种操作：

  • op=1op = 1 ，在序列末端添加一个数 xx 。
  • op=2op = 2 ，计算 f(al,al+1,...,ar)f(a_l, a_{l + 1},..., a_r) ，输出结果的分子与分母，分别对 998244353998244353 取模。

其中 f(x)=x,f(a0,a1,...,an)=a0+1f(a1,a2,...,an) (n≥1)f(x) = x, f(a_0, a_1,..., a_n) = a_0 + \frac{1}{f(a_1, a_2,..., a_n)}\ (n \geq 1) 。
其中 1≤n,m≤5⋅105,type∈{0,1},op∈{1,2},1≤ai,x≤9982443521 \leq n, m \leq 5 \cdot 10^5, type \in \{0, 1\}, op \in \{1, 2\}, 1 \leq a_i, x \leq 998244352 。

思路

假设没有加数操作，考虑快速计算 f(a0,a1,...,an)f(a_0, a_1,..., a_n) 。
由于 f(a0,a1,...,an)=a0+1f(a1,a2,...,an)f(a_0, a_1,..., a_n) = a_0 + \frac{1}{f(a_1, a_2,..., a_n)} ，考虑直接将结果写成分数的形式。
定义

f(al,al+1,...,ar)=xl,ryl,rf(a_l, a_{l + 1},..., a_r) = \frac{x_{l,r}}{y_{l,r}}

则有

f(al,al+1,...,ar)=al+yl+1,rxl+1,r=al⋅xl+1,r+yl+1,rxl+1,rf(a_l, a_{l + 1},..., a_r) = a_l + \frac{y_{l + 1,r}}{x_{l + 1,r}} = \frac{a_l \cdot x_{l + 1,r} + y_{l + 1,r}}{x_{l + 1,r}}

则可以将 f(al,al+1,...,ar)f(a_l, a_{l + 1},..., a_r) 的计算转换成一个矩阵和向量相乘的形式：

[al110]⋅[xl+1,ryl+1,r]=[al⋅xl+1,r+yl+1,rxl+1,r]=[xl,ryl,r]\begin{bmatrix} a_l&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{l + 1, r}\\ y_{l + 1, r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_l \cdot x_{l + 1,r} + y_{l + 1,r}\\ x_{l + 1,r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{l, r}\\ y_{l, r} \end{bmatrix}

那么将其继续展开可以得到：

[al110]⋅[al+1110]⋅...⋅[ar−1110]⋅[ar1]=[xl,ryl,r]\begin{bmatrix} a_l&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_{l + 1}&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot ... \cdot \begin{bmatrix} a_{r - 1}&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_r\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{l, r}\\ y_{l, r} \end{bmatrix}

于是我们需要维护一段区间内的矩阵乘积。而可以得到 aia_i 对应矩阵的逆矩阵为：

[011−ai]\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&-a_i \end{bmatrix}

因此维护所有 aia_i 对应矩阵 / 逆矩阵的前缀积即可。对于加数操作，由于是加在序列末端，直接更新前缀积即可。
总复杂度为 O(n⋅23)O(n \cdot 2^3) 。

代码

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/*
    Author: Cupids_Bow
    Time: 2022-09-01 10:12:56
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;

constexpr int mod=998244353;

struct Matrix{
    int val[2][2];
    Matrix(int x){
        memset(val,0,sizeof(val));
        val[0][0]=val[1][1]=x;
    }
    Matrix(int x1,int x2,int x3,int x4){
        val[0][0]=x1,val[0][1]=x2;
        val[1][0]=x3,val[1][1]=x4;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b)const{
        Matrix c(0);
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                for(int k=0;k<2;k++) c.val[i][j]=(c.val[i][j]+1ll*val[i][k]*b.val[k][j]%mod)%mod;
        return c;
    }
};

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    int n,m,type;
    cin>>n>>m>>type;

    vector<int> a(n+1,0);
    vector<Matrix> sum(n+1,Matrix(1)),isum(n+1,Matrix(1));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        sum[i]=Matrix(a[i],1,1,0);
        isum[i]=Matrix(0,1,1,mod-a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]*sum[i];
        isum[i]=isum[i]*isum[i-1];
    }

    int ansx=0,ansy=0;
    while(m--){
        int op;
        cin>>op;

        if(op==1){
            int x;
            cin>>x;
            if(type) x^=ansx^ansy;

            a.push_back(x);
            sum.push_back(Matrix(x,1,1,0));
            isum.push_back(Matrix(0,1,1,mod-x));
            n++;
            sum[n]=sum[n-1]*sum[n];
            isum[n]=isum[n]*isum[n-1];
        }
        else{
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            if(type){
                l^=ansx^ansy;
                r^=ansx^ansy;
            }

            if(l==r){
                ansx=a[l];
                ansy=1;
            }
            else{
                Matrix res(1);
                res=isum[l-1]*sum[r-1];
                ansx=(1ll*res.val[0][0]*a[r]%mod+res.val[0][1])%mod;
                ansy=(1ll*res.val[1][0]*a[r]%mod+res.val[1][1])%mod;
            }
            cout<<ansx<<" "<<ansy<<"\n";
        }
    }

    return true&&false;
}