矩阵加速函数计算
题意
给定序列 a ,维护两种操作:
- op=1 ,在序列末端添加一个数 x 。
- op=2 ,计算 f(al,al+1,...,ar) ,输出结果的分子与分母,分别对 998244353 取模。
其中 f(x)=x,f(a0,a1,...,an)=a0+f(a1,a2,...,an)1 (n≥1) 。
其中 1≤n,m≤5⋅105,type∈{0,1},op∈{1,2},1≤ai,x≤998244352 。
思路
假设没有加数操作,考虑快速计算 f(a0,a1,...,an) 。
由于 f(a0,a1,...,an)=a0+f(a1,a2,...,an)1 ,考虑直接将结果写成分数的形式。
定义
f(al,al+1,...,ar)=yl,rxl,r
则有
f(al,al+1,...,ar)=al+xl+1,ryl+1,r=xl+1,ral⋅xl+1,r+yl+1,r
则可以将 f(al,al+1,...,ar) 的计算转换成一个矩阵和向量相乘的形式:
[al110]⋅[xl+1,ryl+1,r]=[al⋅xl+1,r+yl+1,rxl+1,r]=[xl,ryl,r]
那么将其继续展开可以得到:
[al110]⋅[al+1110]⋅...⋅[ar−1110]⋅[ar1]=[xl,ryl,r]
于是我们需要维护一段区间内的矩阵乘积。而可以得到 ai 对应矩阵的逆矩阵为:
[011−ai]
因此维护所有 ai 对应矩阵 / 逆矩阵的前缀积即可。对于加数操作,由于是加在序列末端,直接更新前缀积即可。
总复杂度为 O(n⋅23) 。
代码
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
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#include<bits/stdc++.h> using namespace std;
using ll=long long;
constexpr int mod=998244353;
struct Matrix{ int val[2][2]; Matrix(int x){ memset(val,0,sizeof(val)); val[0][0]=val[1][1]=x; } Matrix(int x1,int x2,int x3,int x4){ val[0][0]=x1,val[0][1]=x2; val[1][0]=x3,val[1][1]=x4; } Matrix operator * (const Matrix &b)const{ Matrix c(0); for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) c.val[i][j]=(c.val[i][j]+1ll*val[i][k]*b.val[k][j]%mod)%mod; return c; } };
int main(){ ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m,type; cin>>n>>m>>type;
vector<int> a(n+1,0); vector<Matrix> sum(n+1,Matrix(1)),isum(n+1,Matrix(1)); for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; sum[i]=Matrix(a[i],1,1,0); isum[i]=Matrix(0,1,1,mod-a[i]); sum[i]=sum[i-1]*sum[i]; isum[i]=isum[i]*isum[i-1]; }
int ansx=0,ansy=0; while(m--){ int op; cin>>op;
if(op==1){ int x; cin>>x; if(type) x^=ansx^ansy;
a.push_back(x); sum.push_back(Matrix(x,1,1,0)); isum.push_back(Matrix(0,1,1,mod-x)); n++; sum[n]=sum[n-1]*sum[n]; isum[n]=isum[n]*isum[n-1]; } else{ int l,r; cin>>l>>r; if(type){ l^=ansx^ansy; r^=ansx^ansy; }
if(l==r){ ansx=a[l]; ansy=1; } else{ Matrix res(1); res=isum[l-1]*sum[r-1]; ansx=(1ll*res.val[0][0]*a[r]%mod+res.val[0][1])%mod; ansy=(1ll*res.val[1][0]*a[r]%mod+res.val[1][1])%mod; } cout<<ansx<<" "<<ansy<<"\n"; } }
return true&&false; }
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