LOJ573 「LibreOJ NOI Round#2」单枪匹马

矩阵加速函数计算


题意

给定序列 aa ,维护两种操作:

  • op=1op = 1 ,在序列末端添加一个数 xx
  • op=2op = 2 ,计算 f(al,al+1,...,ar)f(a_l, a_{l + 1},..., a_r) ,输出结果的分子与分母,分别对 998244353998244353 取模。

其中 f(x)=x,f(a0,a1,...,an)=a0+1f(a1,a2,...,an) (n1)f(x) = x, f(a_0, a_1,..., a_n) = a_0 + \frac{1}{f(a_1, a_2,..., a_n)}\ (n \geq 1)
其中 1n,m5105,type{0,1},op{1,2},1ai,x9982443521 \leq n, m \leq 5 \cdot 10^5, type \in \{0, 1\}, op \in \{1, 2\}, 1 \leq a_i, x \leq 998244352

思路

假设没有加数操作,考虑快速计算 f(a0,a1,...,an)f(a_0, a_1,..., a_n)
由于 f(a0,a1,...,an)=a0+1f(a1,a2,...,an)f(a_0, a_1,..., a_n) = a_0 + \frac{1}{f(a_1, a_2,..., a_n)} ,考虑直接将结果写成分数的形式。
定义

f(al,al+1,...,ar)=xl,ryl,rf(a_l, a_{l + 1},..., a_r) = \frac{x_{l,r}}{y_{l,r}}

则有

f(al,al+1,...,ar)=al+yl+1,rxl+1,r=alxl+1,r+yl+1,rxl+1,rf(a_l, a_{l + 1},..., a_r) = a_l + \frac{y_{l + 1,r}}{x_{l + 1,r}} = \frac{a_l \cdot x_{l + 1,r} + y_{l + 1,r}}{x_{l + 1,r}}

则可以将 f(al,al+1,...,ar)f(a_l, a_{l + 1},..., a_r) 的计算转换成一个矩阵和向量相乘的形式:

[al110][xl+1,ryl+1,r]=[alxl+1,r+yl+1,rxl+1,r]=[xl,ryl,r]\begin{bmatrix} a_l&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{l + 1, r}\\ y_{l + 1, r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_l \cdot x_{l + 1,r} + y_{l + 1,r}\\ x_{l + 1,r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{l, r}\\ y_{l, r} \end{bmatrix}

那么将其继续展开可以得到:

[al110][al+1110]...[ar1110][ar1]=[xl,ryl,r]\begin{bmatrix} a_l&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_{l + 1}&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot ... \cdot \begin{bmatrix} a_{r - 1}&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_r\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{l, r}\\ y_{l, r} \end{bmatrix}

于是我们需要维护一段区间内的矩阵乘积。而可以得到 aia_i 对应矩阵的逆矩阵为:

[011ai]\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&-a_i \end{bmatrix}

因此维护所有 aia_i 对应矩阵 / 逆矩阵的前缀积即可。对于加数操作,由于是加在序列末端,直接更新前缀积即可。
总复杂度为 O(n23)O(n \cdot 2^3)

代码

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/*
Author: Cupids_Bow
Time: 2022-09-01 10:12:56
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;

constexpr int mod=998244353;

struct Matrix{
int val[2][2];
Matrix(int x){
memset(val,0,sizeof(val));
val[0][0]=val[1][1]=x;
}
Matrix(int x1,int x2,int x3,int x4){
val[0][0]=x1,val[0][1]=x2;
val[1][0]=x3,val[1][1]=x4;
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const{
Matrix c(0);
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++) c.val[i][j]=(c.val[i][j]+1ll*val[i][k]*b.val[k][j]%mod)%mod;
return c;
}
};

int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);

int n,m,type;
cin>>n>>m>>type;

vector<int> a(n+1,0);
vector<Matrix> sum(n+1,Matrix(1)),isum(n+1,Matrix(1));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
sum[i]=Matrix(a[i],1,1,0);
isum[i]=Matrix(0,1,1,mod-a[i]);
sum[i]=sum[i-1]*sum[i];
isum[i]=isum[i]*isum[i-1];
}

int ansx=0,ansy=0;
while(m--){
int op;
cin>>op;

if(op==1){
int x;
cin>>x;
if(type) x^=ansx^ansy;

a.push_back(x);
sum.push_back(Matrix(x,1,1,0));
isum.push_back(Matrix(0,1,1,mod-x));
n++;
sum[n]=sum[n-1]*sum[n];
isum[n]=isum[n]*isum[n-1];
}
else{
int l,r;
cin>>l>>r;
if(type){
l^=ansx^ansy;
r^=ansx^ansy;
}

if(l==r){
ansx=a[l];
ansy=1;
}
else{
Matrix res(1);
res=isum[l-1]*sum[r-1];
ansx=(1ll*res.val[0][0]*a[r]%mod+res.val[0][1])%mod;
ansy=(1ll*res.val[1][0]*a[r]%mod+res.val[1][1])%mod;
}
cout<<ansx<<" "<<ansy<<"\n";
}
}

return true&&false;
}