CF1178G The Awesomest Vertex

分块 + 维护凸壳

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题意

给定 $n$ 个节点根为 $1$ 的有根树，每个节点有两个权值 $a, b$ ，定义 $fa(x)$ 为 $x$ 祖先的集合（包括 $x$ ），则节点 $x$ 的贡献为：

$$| \sum\limits_{v \in fa(x)} a_v | \cdot | \sum\limits_{v \in fa(x)} b_v |$$

需要支持两种操作：

• $1\ x\ v \rightarrow$ 将 $a_x$ 加上 $v$
• $2\ x \rightarrow$ 求出 $x$ 为根的子树中的节点的最大贡献

其中 $1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5, 1 \leq q \leq 10^5, -5 \cdot 10^3 \leq a_i, b_i \leq 5 \cdot 10^3, 1 \leq x \leq n, 1 \leq v \leq 5 \cdot 10^3$ 。

思路

之前遇到过很多次类似维护 $a_i \cdot b_i$ 的情况，一直鸽了。
对于本题，显然可以预处理出每个节点祖先的 $a_i, b_i$ 的和，将它们的值记为 $a_i, b_i$ ，操作 $1, 2$ 即变为对子树的操作，而对子树的操作可以通过 $dfs$ 序拍成区间操作。
如果只是针对 $a_i$ 的加减操作，本质上每个节点的贡献值可以表示为一条直线 $y = b_i \cdot x + a_i \cdot b_i$ ， $x$ 可以理解为每次 $a_i$ 的增量。对结果取绝对值后相当于两条直线 $y = b_i \cdot x + a_i \cdot b_i$ 与 $y = - b_i \cdot x - a_i \cdot b_i$ 取最大值。
那么可以考虑对于树的 $dfn$ 序列分块，每个块维护一个下凸壳，表示这个块内的所有节点代表的直线（正负 $2$ 条）所形成的凸壳。
对于操作 $1$ ，对于被包含在区间内的块，直接维护一个标记记录这个块内 $a_i$ 的增量，对于边缘的块，直接暴力重构凸壳即可。单次复杂度为 $O(\sqrt{n})$ 。
对于操作 $2$ ，对于被包含在区间内的块，直接返回凸壳上对应增量的值，对于边缘的块，直接暴力计算对应 $a_i$ 加上块标记的值即可。其中对于每个凸壳额外维护一个值 $tagx$ 表示该块内对答案产生贡献的直线的下标，由于 $v \in [1, 5 \cdot 10^3]$ ， $tagx$ 的变化是单调的，查询时直接维护即可。单次复杂度为 $O(\sqrt{n})$ 。
$n$ 次操作的总复杂度为 $O(n \cdot \sqrt{n})$ 。

代码

注意重构凸壳时判断直线交点可能会爆 $long\ long$ 用 $int128$ 即可。

/*
    Author: Cupids_Bow
    Time: 2022-08-11 23:15:36
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;

constexpr int N=2e5+5;

int n,q;
ll a[N],b[N];
vector<int> e[N];
int dfn[N],dfn0,fi[N],lst[N];
int blo,bl[N];
ll lz[N],tagx[N];
struct Line{
    ll k;
    ll b;
    Line(){}
    Line(ll _k,ll _b){
        k=_k;
        b=_b;
    }
    ll calc(ll x){
        return k*x+b;
    }
};
vector<Line> convex[N];

void dfs(int x,int fa){
    dfn[x]=++dfn0;
    fi[x]=dfn0;
    for(auto v:e[x]){
        if(v==fa) continue;
        a[v]+=a[x];
        b[v]+=b[x];
        dfs(v,x);
    }
    lst[x]=dfn0;
}

int is_bad(Line &l1,Line &l2,Line &l3){
    return (__int128_t)(l2.b-l3.b)*(l2.k-l1.k)<=(__int128_t)(l1.b-l2.b)*(l3.k-l2.k);
}

void build(int id,vector<Line> &vec){
    convex[id].clear();
    sort(vec.begin(),vec.end(),[&](const Line &l1,const Line &l2){
        if(l1.k!=l2.k) return l1.k<l2.k;
        else return l1.b<l2.b;
    });
    for(auto line:vec){
        int sz=convex[id].size();
        while(sz>=2&&is_bad(convex[id][sz-2],convex[id][sz-1],line)) convex[id].pop_back(),sz--;
        convex[id].push_back(line);
    }
    lz[id]=tagx[id]=0;
}

void init(){
    vector<ll> veca(n+5),vecb(n+5);
    blo=max(1.0,sqrt(n/6));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        bl[i]=(i-1)/blo+1;
        veca[dfn[i]]=a[i];
        vecb[dfn[i]]=b[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=veca[i],b[i]=vecb[i];
    for(int l=1;l<=n;){
        vector<Line> vec;
        vec.push_back(Line(b[l],a[l]*b[l]));
        vec.push_back(Line(-b[l],-a[l]*b[l]));
        int r=l,id=bl[l];
        while(r+1<=n&&bl[r+1]==id){
            r++;
            vec.push_back(Line(b[r],a[r]*b[r]));
            vec.push_back(Line(-b[r],-a[r]*b[r]));
        }
        build(id,vec);
        l=r+1;
    }
}

void add(int ql,int qr,ll v){
    if(bl[ql]==bl[qr]){
        int id=bl[ql];
        for(int i=ql;i<=qr;i++) a[i]+=v;
        while(ql-1>=1&&bl[ql-1]==id) ql--;
        while(qr+1<=n&&bl[qr+1]==id) qr++;
        vector<Line> vec;
        for(int i=ql;i<=qr;i++){
            a[i]+=lz[id];
            vec.push_back(Line(b[i],a[i]*b[i]));
            vec.push_back(Line(-b[i],-a[i]*b[i]));
        }
        build(id,vec);
        return;
    }
    int L=bl[ql]+1,R=bl[qr]-1;
    for(int i=L;i<=R;i++) lz[i]+=v;
    int id=bl[ql];
    vector<Line> vec;
    for(int i=ql;bl[i]==id;i++) a[i]+=v;
    while(ql-1>=1&&bl[ql-1]==id) ql--;
    for(int i=ql;bl[i]==id;i++){
        a[i]+=lz[id];
        vec.push_back(Line(b[i],a[i]*b[i]));
        vec.push_back(Line(-b[i],-a[i]*b[i]));
    }
    build(id,vec);
    id=bl[qr],vec.clear();
    for(int i=qr;bl[i]==id;i--) a[i]+=v;
    while(qr+1<=n&&bl[qr+1]==id) qr++;
    for(int i=qr;bl[i]==id;i--){
        a[i]+=lz[id];
        vec.push_back(Line(b[i],a[i]*b[i]));
        vec.push_back(Line(-b[i],-a[i]*b[i]));
    }
    build(id,vec);
    return;
}

ll find(int id){
    while(tagx[id]+1<convex[id].size()&&convex[id][tagx[id]].calc(lz[id])<=convex[id][tagx[id]+1].calc(lz[id])) tagx[id]++;
    return convex[id][tagx[id]].calc(lz[id]);
}

ll search(int ql,int qr){
    ll res=-1e18;
    if(bl[ql]==bl[qr]){
        int id=bl[ql];
        for(int i=ql;i<=qr;i++) res=max(res,abs(a[i]+lz[id])*b[i]);
        return res;
    }
    int L=bl[ql]+1,R=bl[qr]-1;
    for(int i=L;i<=R;i++) res=max(res,find(i));
    for(int i=ql;bl[i]==bl[ql];i++) res=max(res,abs(a[i]+lz[bl[ql]])*b[i]);
    for(int i=qr;bl[i]==bl[qr];i--) res=max(res,abs(a[i]+lz[bl[qr]])*b[i]);
    return res;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    cin>>n>>q;
    for(int i=2,x;i<=n;i++){
        cin>>x;
        e[x].push_back(i);
        e[i].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
    dfs(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=abs(b[i]);
    init();
    while(q--){
        int op;
        cin>>op;
        if(op==1){
            int x,l,r;
            ll v;
            cin>>x>>v;
            l=fi[x],r=lst[x];
            add(l,r,v);
        }
        else{
            int x,l,r;
            cin>>x;
            l=fi[x],r=lst[x];
            cout<<search(l,r)<<"\n";
        }
    }

    return true&&false;
}